Магнитное поле Земли и других небесных тел

Борис Васильев

Рецензия:

Статья опубликована в журнале International Journal of Geosciences (Vol. 6, No. 11) 25.11.2015.

Полная версия статьи: PDF

Многие модели земного магнетизма стремятся в первую очередь объяснить, почему главное магнитное поле Земли возле её полюсов близко к 1 Э. Такой подход к основной проблеме земного магнетизма в наши дни неприемлем. Космические полёты и развитие астрономических приборов показали замечательный неизвестный ранее факт: магнитные моменты всех планет Солнечной системы, некоторых спутников этих планет и ряда звёзд пропорциональны их моментам вращения. Таким образом, эта геофизическая задача переросла в частный случай более общей задачи магнетизма космических тел. Этот факт требует переосмысленного построения модели внутреннего строения Земли и переформулировки главной задачи земного магнетизма, поскольку необходимо объяснить, почему отношение магнитного момента Земли к её моменту вращения, так же как и других космических тел, близко к отношению мировых констант G1/2/c. Ранее эта проблема исследовалась в работах [1, 2].

Проведённые расчёты показывают, что в состоянии с минимальной энергией Земле энергетически выгодно иметь ядро с радиусом примерно равным половине радиуса Земли, состоящее из электрон-ионной плазмы. Полученные в результате расчётов радиальное распределение плотности, момент инерции и магнитный момент Земли удовлетворительно согласуются с данными измерений. Приведённые с этой статье вычисления опираются на результаты, ранее опубликованные в работе [3].

PACS 64.30 – Уравнение состояния вещества.

PACS 91.35 – Внутренне строение Земли и её свойства.

PACS 91.35.Cb – Модели внутренней структуры.

Содержание

1. Введение.

1.1. О магнитном поле Земли.

1.2. Данные измерений магнитных полей космических тел.

1.3. Атомное вещество и плазма.

1.4. Равновесное состояние горячей плотной плазмы.

1.4.1. Классическая плазма и распределение Больцмана.

1.4.2. Энергия горячей плазмы с поправкой на Ферми-статистику.

1.4.3. Корреляционная поправка к энергии невырожденной плазмы.

1.5. Энергетически выгодное состояние горячей плазмы.

1.5.1. Энергетически выгодная плотность горячей плазмы.

1.5.2. Оценка энергетически выгодной температуры плазмы горячей звезды.

1.5.3. Оценка корректности принятых допущений.

2. Внутреннее строение звёзд.

2.1. Равновесие плазмы в ядре звезды.

2.2. Основные параметры ядра звезды.

3. Магнитные моменты звёзд.

4. Магнитное поле Земли. Введение.

5. Теория Земли, построенная методом минимизации полной энергии.

5.1. Плазменное ядро Земли.

5.2. Уравнение состояния вещества.

5.3. Ядро и мантия.

5.4. Энергия планеты.

5.5. Плотность вещества внутри планеты Земля.

5.6. Момент инерции и магнитный момент планеты Земля.

6. Заключение.

1. Введение

1.1. О магнитном поле Земли

Модели земного магнетизма

Всё можно понять в окружающей природе. Непонятно только, почему есть звёзды на небе и откуда у Земли магнитное поле.

Реплика, приписываемая Л.Д. Ландау

Загадка магнитного поля Земли уже насколько веков волнует исследователей.

Один из первых европейских учёных современной формации У. Гилберт издал в 1600 году книгу «О магните, магнитных телах и большом магните – Земле» [4].

Уильям Гилберт (1544...1603) – английский физик, предложил первую модель земного магнетизма

Рис. 1. Уильям Гилберт (1544…1603) – английский физик, предложил первую модель земного магнетизма, ввёл понятия электрического и магнитного полей

Принято считать, что самый важный экспериментальный факт, которому должна удовлетворять модель магнитного поля Земли, есть дипольный характер главного поля с величиной напряжённости вблизи полюсов примерно равной 1 Э.

Гилберт предполагал, что внутри Земли имеется область, заполненная намагниченным ферромагнетиком (если использовать современный термин). Более поздние исследования показали, что температура в центральной области Земли высока – выше температуры Кюри ферромагнетиков. Поэтому намагниченным ядро Земли быть не может.

Позже предлагалось много различных моделей магнитного поля Земли. В частности, несколько моделей, основанных на модели термоэлектричества. В 40-е годы прошлого века была разработана модель динамо [5], которая завоевала признание специалистов.

Следует заметить, что для работы такого механизма необходимо наличие некого затравочного поля, которое может быть усилено. В присутствии только космического поля (≈ 10 –7 Э), работоспособность этой модели вызывает большие сомнения.

Сомнения в работоспособности модели динамо в последующие десятилетия возникали у многих учёных, и по этой причине вплоть до последнего времени появляются всё новые модели этого явления.

Гипотеза Блэкетта

По другому к проблеме магнитных полей космических тел подошёл барон П.М.С. Блэкетт, Нобелевский лауреат и Президент лондонского королевского общества [6].

Он высказал предположение о том, что магнитное поле порождается не только движущимся электрическим зарядом, но и любой движущейся нейтральной массой. Позже стали предполагать, что это может быть следствием того, что электрические заряды электрона и протона не равны друг другу. Оценивали, что их разница должна быть очень мала – не уровне 10 –18e.

Нобелевский лауреат барон Патрик Мейнард Стюарт Блэкетт

Рис. 2. Нобелевский лауреат барон Патрик Мейнард Стюарт Блэкетт (1897…1974).

Однако такой ничтожной разницы было достаточно, чтобы у всех космических тел за счёт их вращения вокруг собственной оси возникло магнитное поле той величины, которую дают измерения.

Естественно, что при таком подходе должна существовать связь между магнитным моментом космического тела μ и его моментом вращения L. Блэкетт показал, что отношение этих величин (гиромагнитное отношение) зависит только от мировых констант:

[vartheta = frac{mu }{L} approx frac{{sqrt G }}{c},] (1)

здесь G – гравитационная константа, c – скорость света.

Однако гипотеза Блэкетта была отвергнута, несмотря на её красоту и привлекательность. Причём отказался от неё сам Блэкетт. Высокоточные эксперименты, проведённые Блэкеттом, а также и другими экспериментаторами, показали, что магнитное поле искомой напряжённости электрически нейтральные массивные тела в лабораторных условиях не создают.

1.2. Данные измерений магнитных полей космических тел

Геофизики, занимавшиеся проблемой земного магнетизма, своей задачей первого плана видели построение такой теории, которая объясняла бы причину, почему главное магнитное поле Земли вблизи её полюсов примерно равно 1 Э.

Во второй половине ХХ века такая постановка задачи оказалась неприемлемой, потому что к этому времени эта геофизическая задача переросла в частный случай более общей задачи магнетизма космических тел.

Полёты космических аппаратов во второй половине ХХ века и общий прогресс астрономической техники обнаружили замечательный, неизвестный ранее факт: магнитные моменты всех космических тел Солнечной системы, а также целого ряда звёзд и пульсаров, пропорциональны моментам вращения этих космических тел (рис. 3), как это должно быть в соответствии с гипотезой Блэкетта.

Замечательно то, что эта зависимость сохраняет линейность в пределах около 20 порядков!

Измеренные значения магнитных моментов космических тел в зависимости от их моментов вращения

Рис. 3. Измеренные значения магнитных моментов космических тел в зависимости от их моментов вращения [7]. По ординате – логарифм магнитного момента (в Гс·см3), по абсциссе – логарифм момента вращения (в эрг·с). Сплошная линия иллюстрирует зависимость Блэкетта

1.3. Атомное вещество и плазма

Все окружающие нас земные вещества имеют атомную структуру. Это означает, что в конденсированном состоянии (не в газовом) плотность веществ определяется взаимодействием между электронными оболочками соседних атомов.

Теплоёмкость всех атомных тел положительна. Поэтому тепловая энергия этих тел стремится к минимуму (к нулю) при Т → 0.

В веществе с плотностью γ поле тяготения с ускорением g порождает силу γg. В атомных веществах эта сила уравновешивается градиентом давления ∇p, который возникает во взаимодействии атомных оболочек. Равновесное состояние вещества с атомной структурой в поле тяготения описывается уравнением Эйлера:

[gamma {bf{g}} = — nabla p.] (2)

Другим (не атомным) веществом является открытая в середине прошлого века плазма. В этом состоянии, в которое переходят все атомные вещества под действием очень высоких давлений или температуры, атомы ионизируются полностью или частично. В результате получаются электронный газ и голые ядра или ионы, образующие электрон-ядерную или электрон-ионную плазму. Свойства плазмы коренным образом отличаются от свойств атомного вещества, поскольку вместе с отсутствием электронных оболочек исчезает их взаимодействие, за счёт которого в атомных веществах под действием тяготения возникал градиент давления.

1.4. Равновесное состояние горячей плотной плазмы

Оказывается, что для горячей плотной плазмы, которая формирует внутренние области космических тел, минимумом энергии обладает состояние с конечной плотностью и температурой.

1.4.1. Классическая плазма и распределение Больцмана

Свободные электроны, будучи фермионами, в соответствии с распределением Ферми – Дирака, при низких температурах должны заполнять энергетические уровни, лежащие ниже энергии Ферми EF. При высоких температурах и высоких давлениях все вещества превращаются в электрон-ядерную плазму (eN-плазму). В высокотемпературной плазме борются две тенденции. При kT >> EF поправки на Ферми-статистику для плазмы становятся малыми. Но их роль увеличивается при повышении давления, ведущего к увеличению плотности электронного газа и соответствующему росту EF. При условии, когда квантовые отличия в поведении электронного газа малы, появляется возможность рассматривать электронный газ как идеальный, подчиняющийся статистике Больцмана. Критерий применимости классической статистики

[T gg frac{{{E_F}}}{k}] (3)

для нерелятивистского электронного газа с плотностью частиц 1025 см –3 выполняется при T >> 106 K.

При такой температуре плазма обладает энергией

[E = frac{3}{2}kTN,] (4)

и её уравнение состояния есть уравнение идеального газа

[p = frac{{NkT}}{V}.] (5)

Но даже при столь высокой температуре плазму можно рассматривать как идеальный газ только в первом приближении. Для более точного описания её свойств необходимо принять во внимание специфику взаимодействия её частиц, учтя в первую очередь две главных характерных для неё поправки к закону идеального газа. Первая поправка – это поправка на Ферми-статистику, которой подчиняется электронный газ плазмы. В соответствии с принципом Паули электрон при заполнении энергетических уровней не может попасть на те, которые уже заняты другими электронами. Соответственно, эта поправка должна быть положительной, т.к. ведёт к увеличению энергии плазмы по сравнению с идеальным газом той же плотности при той же температуре.

Вторая поправка – это так называемая корреляционная поправка, которая учитывает корреляцию к расположению заряженных частиц за счёт электрического взаимодействия, что ведёт к уменьшению энергии плазмы по сравнению с идеальным газом той же плотности при той же температуре. Поэтому эта поправка должна быть отрицательной.

1.4.2. Энергия горячей плазмы с поправкой на Ферми-статистику

Энергия электронного газа в больцмановском случае (kT >> EF) может быть получена из выражения для полной энергии нерелятивистского газа Ферми-частиц [8]:

[E = frac{{{2^{1/2}}Vm_e^{3/2}}}{{{pi ^2}{hbar ^3}}}int_0^infty ,frac{{{varepsilon ^{3/2}}dvarepsilon }}{{{e^{(varepsilon — {mu _e})/kT}} + 1}}] (6)

путём разложения её в ряд. (Здесь me, ε, μe – масса, энергия и химический потенциал электронов).

В больцмановском случае μe < 0 и |μe / kT| >> 1, поэтому подынтегральное выражение при ({e^{{mu _e}/kT}} ll 1) может быть разложено в ряд по степеням ({e^{{mu _e}/kT — varepsilon /kT}}). Если ввести обозначение z = ε  / kT и сохранить два первых члена разложения, получается

[I equiv {(kT)^{5/2}}int_0^infty ,frac{{{z^{3/2}}dz}}{{{e^{z — {mu _e}/kT}} + 1}} approx \ approx {(kT)^{5/2}}int_0^infty ,{z^{3/2}}left( {{e^{{textstyle{{{mu _e}} over {kT}}} — z}} — {e^{2({textstyle{{{mu _e}} over {kT}}} — z)}} + …} right)dz] (7)

или

[frac{I}{{{{(kT)}^{5/2}}}} approx {e^{{textstyle{{{mu _e}} over {kT}}}}}Gamma left( {frac{3}{2} + 1} right) — frac{1}{{{2^{5/2}}}}{e^{{textstyle{{2{mu _e}} over {kT}}}}}Gamma left( {frac{3}{2} + 1} right) approx \ approx frac{{3sqrt pi }}{4}{e^{{mu _e}/kT}}left( {1 — frac{1}{{{2^{5/2}}}}{e^{{mu _e}/kT}}} right).] (8)

Так что полная энергия горячего электронного газа

[E approx frac{{3V}}{2}frac{{{{(kT)}^{5/2}}}}{{sqrt 2 }}mathop {left( {frac{{{m_e}}}{{pi {hbar ^2}}}} right)}nolimits^{3/2} left( {{e^{{mu _e}/kT}} — frac{1}{{{2^{5/2}}}}{e^{2{mu _e}/kT}}} right).] (9)

С учётом определения химического потенциала идеального газа (частиц со спином 1/2) [8]

[{mu _e} = kTlogleft[ {frac{{{N_e}}}{{2V}}mathop {left( {frac{{2pi {hbar ^2}}}{{{m_e}kT}}} right)}nolimits^{3/2} } right]] (10)

получим полную энергию горячего электронного газа с поправкой на Ферми-статистику:

[{E_e} approx frac{3}{2}kT{N_e}left[ {1 + frac{{{pi ^{3/2}}}}{4}mathop {left( {frac{{{a_B}{e^2}}}{{kT}}} right)}nolimits^{3/2} {n_e}} right].] (11)

Здесь ({a_B} = {textstyle{{{hbar ^2}} over {{m_e}{e^2}}}}) – радиус Бора.

1.4.3. Корреляционная поправка к энергии невырожденной плазмы

В очень горячей плазме частицы равномерно распределены по объёму. При понижении температуры внутри плазмы устанавливается некоторый порядок – заряженные частицы одного знака экранируют электрические поля частиц другого знака. Корреляция в расположении частиц плазмы ведёт к уменьшению её давления. Поэтому поправка на электростатическое взаимодействие между частицами должна быть отрицательной. Эту поправку можно оценить, используя метод, развитый Дебаем и Хюккелем для сильных электролитов [8]. Электростатический потенциал ядра с зарядом Ze внутри плазмы спадает в соответствии с законом Дебая:

[varphi (r) = frac{{eZ}}{r}{mkern 1mu} expleft( { — frac{r}{{{r_D}}}} right).] (12)

Здесь

[{r_D} = mathop {left( {frac{{4pi {e^2}}}{{kT}}{mkern 1mu} sumlimits_a ,{n_a}Z_a^2} right)}nolimits^{ — 1/2} ] (13)

– радиус Дебая. На малых расстояниях по сравнению с радиусом Дебая (r / rD << 1) дебаевский потенциал может быть разложен в ряд

[varphi (r) = frac{{Ze}}{r} — frac{{Ze}}{{{r_D}}} + …] (14)

Следующие члены разложения обращаются в нуль при r → 0. Первый член этого разложения есть просто кулоновский потенциал рассматриваемой частицы. Второй член

[E = — {e^3}sqrt {frac{pi }{{kTV}}} mathop {left( {sumlimits_a ,{N_a}Z_a^2} right)}nolimits^{3/2} ] (15)

– это интересующий нас эффект влияния других частиц.

Таким образом, корреляционная энергия плазмы, состоящей из Ne электронов и (Ne / Z) ядер с зарядом Z в объёме V:

[{E_{корр}} = — {e^3}sqrt {frac{{pi {n_e}}}{{kT}}} {Z^{3/2}}{N_e}] (16)

1.5. Энергетически выгодное состояние горячей плазмы

1.5.1. Энергетически выгодная плотность горячей плазмы

С учётом обеих главных поправок на неидеальность энергия горячей плазмы

[{E_{плзм}} approx frac{3}{2}kT{N_e}left[ {1 + frac{{{pi ^{3/2}}}}{4}mathop {left( {frac{{{a_B}{e^2}}}{{kT}}} right)}nolimits^{3/2} {n_e} — frac{{2{pi ^{1/2}}}}{3}{mkern 1mu} {e^3}mathop {left( {frac{Z}{{kT}}} right)}nolimits^{3/2} n_e^{1/2}} right].] (17)

Внутри звезды, находящейся в равновесном состоянии, выделяется энергия, которая затем, пройдя через толщу вещества, излучается с поверхности звезды. При нахождении устойчивого состояния звезды естественно полагать, что ему соответствует минимум энергии её вещества, но при этом излучение, конечно, неравновесно и может рассматриваться как некая внешняя среда, в которую погружено вещество звезды. Равновесному состоянию тела во внешней среде соответствует минимум величины [8, §20]

ET0S + p0V. (18)

Здесь T0 и p0 – температура и давление среды. Учитывая, что излучение уходит в вакуум, где температура и давление излучения малы, двумя последними слагаемыми можно пренебречь и записать уравнение равновесия вещества как минимум его полной энергии:

[frac{{d{E_{плзм}}}}{{d{n_e}}} = 0,] (19)

откуда из (17) получаем, что условию равновесия горячей плазмы соответствует плотность электронного газа

[n_e^{рвс} equiv {n_ star } = frac{{16}}{{9pi }}frac{{{Z^3}}}{{a_B^3}} approx 3,82 cdot {10^{24}}{Z^3}с{м^{ — 3}}.] (20)

Таким образом, равновесная плотность электронного газа горячей гелиевой плазмы должна быть близка к 3·1025 см –3.

1.5.2. Оценка энергетически выгодной температуры плазмы горячей звезды

Оценим вклад высокотемпературного излучения в суммарную энергию равновесной системы. Теорема вириала [8, 9] утверждает, что полная энергия частиц, взаимодействующих по закону Кулона и формирующих устойчивую систему, должна быть равна их кинетической энергии, взятой со знаком «минус» (т.к. речь идёт об устойчивой системе, энергия которой должна быть отрицательной):

[{E_{плзм}} = U + frac{3}{2}kT{N_e} = — frac{3}{2}kT{N_e}.] (21)

Здесь U ≈ – GM2 / R0 – потенциальная энергия системы, M и R0 – масса и радиус звезды, G – гравитационная константа. Энергия системы составляется из энергии частиц плазмы и, т.к. имеются в виду высокие температуры, энергии излучения:

[{E_{ст}} approx — frac{3}{2}kT{N_e} + frac{{{pi ^2}}}{{15}}mathop {left( {frac{{kT}}{{hbar c}}} right)}nolimits^3 VkT.] (22)

В равновесном состоянии она должна быть минимальна

[mathop {left( {frac{{partial {E_{ст}}}}{{partial T}}} right)}nolimits_{N,V} = 0.] (23)

Это условие при [{N_e},/,V = {n_ star }] позволяет оценить температуру, характеризующую минимум энергии звезды:

[{T_ star } approx Zfrac{{hbar c}}{{k{a_B}}} approx {10^7}Z{mkern 1mu} K.] (24)

Полученная оценка может вызвать недоумение. В «земных» условиях минимум энергии любых веществ достигается при T → 0. Это связано с положительностью собственной теплоёмкости всех веществ. Особенность звезды как устойчивого термодинамического объекта состоит в том, что полная энергия её вещества отрицательна и пропорциональна его температуре (21). С ростом температуры она растёт по абсолютной величине (будучи отрицательной). Этот процесс, отражающий влияние тяготения на вещество звёзды, характеризуется отрицательной эффективной теплоёмкостью, хотя, конечно, собственная теплоёмкость звёздного вещества (без учёта тяготения, действующего между частицами вещества) остаётся положительной. При дальнейшем повышении температуры всё большую роль начинает играть излучение (с энергией ≈ T4). Когда его роль станет доминирующей, звезда приобретёт положительную теплоёмкость. Минимуму энергии звезды соответствует точка между этими двумя ветвями.

1.5.3. Оценка корректности принятых допущений

При разложении в ряд полной энергии Ферми-газа предполагалось, что выполняется условие применимости статистики Больцмана (3). Подстановка полученных значений равновесной плотности ({n_ star }) (20) и равновесной температуры ({T_ star }) (24) показывает, что отношение

[frac{{{E_F}({n_ star })}}{{k{T_ star }}} approx 3,1,Zalpha ll 1.] (25)

Здесь α ≈ 1/137 – постоянная тонкой структуры.

Условие, использованное нами при разложении в ряд электрического потенциала на ядре (14), при соответствующих подстановках сводится к виду

[frac{r}{{{r_D}}} approx {(n_ star ^{1/3}{r_D})^{ — 1}} approx {alpha ^{1/2}} ll 1.] (26)

Таким образом, полученные значения равновесных значений плазмы согласуются с допущениями, использовавшимися при их выводе.

2. Внутреннее строение звезды

Тот факт, что горячая плотная плазма в минимуме энергии имеет постоянную температуру и плотность, означает, что для такой плазмы энергетически выгодно состояние без градиента давления:

[nabla {p_ star } = nabla ({n_ star }{T_ star }) = 0.] (27)

В присутствии гравитации это возможно, если сила тяжести, действующая на частицы плазмы, будет скомпенсирована электрической силой, возникающей за счёт поляризации плазмы ({{bf{P}}_ star }):

[gamma {bf{g}} + 4pi {{bf{P}}_ star } cdot {mathop{rm div}nolimits} {{bf{P}}_ star } = 0.] (28)

Для наглядного представление сил, действующих в поляризованной среде, используя уравнения электродинамики, можно представить в терминах эффективного связанного заряда с плотностью:

[{rho _{эфф}} = — {mathop{rm div}nolimits} {{bf{P}}_ star }] (29)

при этом эффективная напряжённость поля, «создаваемая» этим эффективным зарядом:

[{{bf{E}}_{эфф}} = — ,4pi {{bf{P}}_ star }.] (30)

Используя эти эффективные параметры, уравнение равновесия для плотной горячей плазмы можем переписать в виде:

[gamma {bf{g}} + {rho _{эфф}}{{bf{E}}_{эфф}} = 0.] (31)

Следует подчеркнуть, что эффективные величины ρэфф и Eэфф введены для наглядности записи равновесия сил. Реально электронейтральность в электрически поляризованной плазме ядра сохраняется.

2.1. Равновесие плазмы в ядре звезды

Условие равновесия (28) для плазмы с энергетически выгодной постоянной плотностью ({n_ star }) достигается при

[{{bf{P}}_ star } = sqrt G {gamma _ star }{bf{r}},] (32)

здесь плотность массы ({gamma _ star } = frac{A}{Z}{m_P}{n_ star },) A и Z – массовое число и зарядовое число атомных ядер, из которых сформирована плазма, mP – масса протона.

В этом случае плазма приобретает эффективный заряд с плотностью

[{rho _{эфф}} = sqrt G {gamma _ star },] (33)

а электрическое поле, действующее на плазменную ячейку

[{{bf{E}}_{эфф}} = frac{{bf{g}}}{{sqrt G }}.] (34)

2.2. Основные параметры ядра звезды

Зная одновременно плотность плазмы ({n_ star }) и температуру ({T_ star }), которые соответствуют минимуму энергии вещества ядра звезды, можно оценить массу ядра ({M_ star }) и его радиус ({R_ star }). Согласно теореме вириала потенциальная энергия частиц, совершающих финитное движение, должна быть равна их удвоенной кинетической энергии (с обратным знаком поскольку потенциальная энергия связанных частиц отрицательна):

[frac{{GM_ star ^2}}{{{R_ star }}} = 2 cdot frac{3}{2}k{T_ star }{N_ star }.] (35)

Здесь ({N_ star } = frac{{4pi }}{3}R_ star ^3{n_ star }) – полное число частиц в плазменном ядре звезды.

Используя полученные определения (20) и (24), получаем радиус электрически поляризованного ядра звезды

[{R_ star } approx mathop {left( {frac{{{M_{Ch}}}}{{{m_p}}}} right)}nolimits^{1/3} frac{{{a_B}}}{A},] (36)

здесь ({M_{Ch}} = {m_p}{left( {frac{{hbar c}}{{Gm_P^2}}} right)^{3/2}}) – масса Чандрасекара.

При этом масса ядра звезды

[{M_ star } approx frac{{{M_{Ch}}}}{{{{(A/Z)}^2}}}.] (37)

Вычисления полной массы звезды показывают, что она превышает массу ядра в два раза [11], [12]:

[{M_{зв}} approx 2{M_ star }] (38)

3. Магнитные моменты звёзд

Тонкая сферическая оболочка радиуса r, несущая на себе электрический заряд q, при вращении вокруг своей оси с частотой Ω приобретает магнитный момент

[vec mu = frac{{{r^2}}}{{3c}}q{bf{Omega }}.] (39)

Вращение шара, внутри которого распределён электрический заряд ρ(r), индуцирует у него появление магнитного момента

[vec mu = frac{{{bf{Omega }} }}{{3c}}int_0^R ,{r^2}rho (r),4pi {r^2}dr.] (40)

Поэтому положительно заряженное ядро звезды создаст магнитный момент

[{vec mu _ + } = frac{{sqrt G {M_ star }R_ star ^2}}{{5c}}{bf{Omega }} .] (41)

На поверхности ядра звезды распределится отрицательный заряд, равный по величине положительному объёмному. Поляризацию вещества звезда, находящегося над ядром – звёздной атмосферы – мы здесь не принимаем во внимание. Отрицательный поверхностный заряд создаст магнитный момент

[{vec mu _ — } = — frac{{sqrt G {M_ star }R_ star ^2}}{{3c}}{bf{Omega }} .] (42)

Так что суммарный магнитный момент ядра получается равным

[{vec mu _Sigma } = — frac{{2sqrt G {M_ star }R_ star ^2}}{{15c}}{bf{Omega }} .] (43)

В это же время механический момент вращения шара с массой M и радиусом R

[L = frac{2}{5}{M_ star }R_ star ^2Omega .] (44)

Таким образом, для космических тел, в плазме которых сила собственного тяготения вызывает электрическую поляризацию, в соответствии с уравнением (33), гиромагнитное отношение будет зависеть только от мировых констант:

[frac{{{mu _Sigma }}}{L} approx — frac{{sqrt G }}{{3c}}.] (45)

Это соотношение было впервые получено Блэкеттом [6], показавшим, что гиромагнитные отношения для Земли, Солнца и звезды 78 Vir, действительно, близки (sqrt G /c).

В настоящее время магнитные поля, массы, радиусы и скорости вращения измерены для всех планет Солнечной системы и некоторых звёзд [7]. Как видно из рис. 3, построенного на основании этих данных, их гиромагнитные отношения удовлетворительно согласуются с соотношением Блэкетта.

Сделав несколько допущений, те же параметры можно определить для пульсаров. Измерения показывают, что по порядку величины все пульсары имеют одну и ту же массу [10], что согласуется с условием равновесия холодной релятивистской материи [11]. Исходя из этого, массу и радиус пульсаров можно считать известными. В соответствии с общепринятой точкой зрения, скорость их вращения равна характерной частоте их излучения. Сделанные допущения позволяют определить гиромагнитные отношения тех трёх пульсаров, для которых измерены магнитные поля на их полюсах [13]. Как видно из рис. 3, гиромагнитные отношения указанных пульсаров удовлетворительно согласуются с равенством Блэкетта.

4. Магнитное поле Земли. Введение

Следует заметить, что построение теории земного магнитного поля невозможно без более общего подхода:

  1. Сначала необходимо построить теорию внутреннего строения Земли, понять, в каком состояния и в каких количественных соотношениях находятся вещества, её составляющие.
  2. Только после этого можно строить модель механизма, возбуждающего магнитное поле в земных недрах.